Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)利用勾股定理可得與即可證明平面.

(2)根據垂直關系可以建立以為坐標原點的空間直角坐標系,再利用空間向量的方法分別求得平面的一個法向量與平面的一個法向量,再利用二面角的夾角公式求解即可.

（1）因為,所以,同理可得.

因為,所以平面.

（2）因為,所以、、兩兩垂直,以為坐標原點,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為,所以,,,,

因為是的中點,所以,

因為,,所以,

所以,.

設平面的一個法向量為,

由,得,

取,得.

取的中點,連接,易證平面,

則平面的一個法向量為.設二面角的平面角為,

由圖知,所以,

所以二面角的余弦值為.