Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，已知曲線 的參數方程為 （ 為參數），點 是曲線 上的一動點，以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 的方程為 .
（Ⅰ）求線段 的中點 的軌跡的極坐標方程；
（Ⅱ）求曲線 上的點到直線 的距離的最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設線段 的中點 的坐標為 ，
由中點坐標公式得 （ 為參數），
消去參數得 的軌跡的直角坐標方程為 ，
由互化公式可得
故答案為：點 的軌跡的極坐標方程為 ．
（Ⅱ）由直線 的極坐標方程為 ，得 ，
所以直線 的直角坐標方程為 ，
曲線 的普通方程為 ，它表示以 為圓心，2為半徑的圓，
則圓心到直線 的距離為 ，所以直線 與圓相離，
故答案為：曲線 上的點到直線 的距離的最大值為
【解析】（1）設OP的中點M的坐標為（x,y),用中點坐標公式將點M的坐標表示為為參數的參數方程,先普通方程，再化為極坐標方程.
（2）將直線l的極坐標方程用公式化為普通方程，當直線與圓相離時，圓上的點到直線的點的距離最大值就是圓心到直線的距離加上半徑.