Question

【題目】已知函數，函數與直線相切，其中，，是自然對數的底數．

（1）求實數的值；

（2）設函數在區間內有兩個極值點．

①求的取值范圍；

②設函數的極大值和極小值的差為，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2（2）①②

【解析】

設切點，利用導數的幾何意義即可得到；

令， 則，

設，根據在區間內有兩個不等實根，列出不等式求解即可.

由，得由，解得，且代入，換元設，，求出的單調性即可得到M的范圍．

（1）設直線與函數相切與點，

函數在點處的切線方程為：, ,

把，代入上式得，．

所以，實數的值為2．

（2）①由（1）知,

設函數在區間內有兩個極值點，，

令，

則，設

因為，故只需，所以，．

②因為，

所以

．

由，得，且．

．

設，，令，

，

在上單調遞減，從而，

所以，實數的取值范圍是．