【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，橢圓的短軸端點與雙曲線
的焦點重合，過點
且不垂直于
軸的直線
與橢圓
相交于
兩點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）求
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，若焦點明確，設橢圓的標準方程，結合條件用待定系數法求出
的值，若不明確，需分焦點在
軸和
軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式
：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論.
試題解析：解：（1）由題意知
，
.又雙曲線的焦點坐標為
， 
，
橢圓的方程為
.
（2）若直線
的傾斜角為
，則
，
當直線
的傾斜角不為
時，直線
可設為
，
，由
設
， 
，
， 
，綜上所述：范圍為
.
學練快車道快樂假期寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣畜牧技術員張三和李四9年來一直對該縣山羊養殖業的規模進行跟蹤調查，張三提供了該縣某山羊養殖場年養殖數量y(單位：萬只)與相成年份x(序號)的數據表和散點圖(如圖所示)，根據散點圖，發現y與x有較強的線性相關關系，李四提供了該縣山羊養殖場的個數z(單位：個)關于x的回歸方程
.
(1)根據表中的數據和所給統計量，求y關于x的線性回歸方程(參考統計量：
)；
(2)試估計：①該縣第一年養殖山羊多少萬只?
②到第幾年，該縣山羊養殖的數量與第一年相比縮小了?
附：對于一組數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點.
（1）證明： 
；
（2）設
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據題意易得
，然后根據等邊三角形的性質可得
，又
，因此
得
平面
，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段
長的最小時， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據向量的夾角公式即可得余弦值
解析：（1）證明：∵四邊形
為菱形， 
，
∴
為正三角形.又
為
的中點，∴
.
又
，因此
.
∵
平面
， 
平面
，∴
.
而
平面
， 
平面
且
，
∴
平面
.又
平面
，∴
.
（2）如圖， 
為
上任意一點，連接
， 
.
當線段
長的最小時， 
，由（1）知
，
∴
平面
， 
平面
，故
.
在
中， 
， 
， 
，
∴
，
由
中， 
， 
，∴
.
由（1）知
， 
， 
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又
， 
分別是
， 
的中點，
可得
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
所以
， 
.
設平面
的一法向量為
，
則
因此
，
取
，則
，
因為
， 
， 
，所以
平面
，
故
為平面
的一法向量.又
，
所以
.
易得二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在中國決勝全面建成小康社會的關鍵之年，如何更好地保障和改善民生，如何切實增強政策“獲得感”，成為
年全國兩會的重要關切．某地區為改善民生調研了甲、乙、丙、丁、戊
個民生項目，得到如下信息：①若該地區引進甲項目，就必須引進與之配套的乙項目；②丁、戊兩個項目與民生密切相關，這兩個項目至少要引進一個；③乙、丙兩個項目之間有沖突，兩個項目只能引進一個；④丙、丁兩個項目關聯度較高，要么同時引進，要么都不引進；⑤若引進項目戊，甲、丁兩個項目也必須引進．則該地區應引進的項目為( )
A. 甲、乙B. 丙、丁C. 乙、丁D. 甲、丙
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】市場份額又稱市場占有率，它在很大程度上反映了企業的競爭地位和盈利能力，是企業非常重視的一個指標.近年來，服務機器人與工業機器人以迅猛的增速占領了中國機器人領域龐大的市場份額，隨著“一帶一路”的積極推動，包括機器人產業在內的眾多行業得到了更廣闊的的發展空間，某市場研究人員為了了解某機器人制造企業的經營狀況，對該機器人制造企業2017年1月至6月的市場份額進行了調查，得到如下資料：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場份額 | 11 | 163 | 16 | 15 | 20 | 21 |
請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程，并預測該企業2017年7月份的市場份額.
如圖是該機器人制造企業記錄的2017年6月1日至6月30日之間的產品銷售頻數（單位：天）統計圖.設銷售產品數量為
，經統計，當
時，企業每天虧損約為200萬元；
當
時，企業平均每天收入約為400萬元；
當
時，企業平均每天收入約為700萬元.
①設該企業在六月份每天收入為
，求
的數學期望；
②如果將頻率視為概率，求該企業在未來連續三天總收入不低于1200萬元的概率.
附：回歸直線的方程是
，其中
， 
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在固定壓力差（壓力差為常數）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率，（單位：
）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比.
（1）寫出氣體流量速率，關于管道半徑r的函數解析式；
（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為
，求該氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率v的表達式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量速率（精確到
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是邊長為2的正方形，
，且
，
為
中點.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得點到平
面
的距離為
？若存在，確定點的位置；
若不存在，請說明理由.
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