Question

【題目】已知.

（1）當時，若函數存在與直線平行的切線，求實數的取值范圍；

（2）當時，，若的最小值是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為.

【解析】

（1）求出導函數，則有實數解，由此可得的范圍；

（2）考慮到的表達式，題意說明在上恒成立，且“＝”可取，這樣問題又可轉化為即恒成立，且可取.，即的最小值是0．，為求的零點，由得，再由導數求得的最小值是．由于題中要求的最小值，因此研究時的正負，從而得的最小值，可證得此最小值，且為0時只有一解，這樣得出結論．

（1）因為,因為函數存在與直線平行的切線，所以

在上有解,即在上有解，所以，得,

故所求實數的取值范圍是.

（2）由題意得：對任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.

令，即

，由得，令

.

當時，，

在上，；

在上，.所以.

令在上遞減，所以，故方程有唯一解即,

綜上，當滿足的最小值為，故的最小值為.