Question

【題目】已知f（x）=2x﹣4x
（1）若x∈[﹣2，2]，求函數f（x）的值域；
（2）求證：函數f（x）在區間（﹣∞，﹣1]的單調遞增．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x，則t＞0，f（x）=y=t﹣t2，

∵y=t﹣t2的圖像是開口朝下，且以直線t= 為對稱軸的拋物線，

故當t= ，即x=﹣1時，函數取最大值 ，無最小值，

故函數的f（x）的值域為（﹣∞， ]

（2）證明：∵x∈（﹣∞，﹣1]時，t=2x∈（0， ]，

此時t=2x為增函數，y=t﹣t2也為增函數，

根據復合函數單調性同增異減的原則，可得：

函數f（x）在區間（﹣∞，﹣1]的單調遞增

【解析】（1）令t=2x ， 則t＞0，f（x）=y=t﹣t2 ， 結合二次函數的圖像和性質，求出函數的最值，進而可得函數的值域；（2）當x∈（﹣∞，﹣1]時，t=2x∈（0， ]，結合二次函數的圖像和性質，指數函數的圖像和性質及，復合函數單調性同增異減的原則，可得結論．
【考點精析】掌握函數的值域和函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．