Question

【題目】已知拋物線的準線方程為，點為坐標原點，不過點的直線與拋物線交于不同的兩點．

（1）如果直線過點，求證： ；

（2）如果，證明：直線必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）過定點

【解析】分析：第一問首先根據拋物線的準線，求得拋物線的方程，根據直線過的頂點，結合拋物線的對稱性，得到直線的斜率一定不等于零，設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理求得兩根和與兩根積，之后應用向量的數量積坐標公式求得其為零，從而斷定；第二問先設出直線的方程，然后與橢圓方程聯立，利用數量積等于零，結合韋達定理得到其滿足的關系，從而證得對應的直線過定點.

詳解：（1）拋物線的準線方程為，

所以拋物線的方程為

因為直線過點，故可設直線的方程為，代入拋物線中

得，

設

則，

，

所以

所以

即

（2）設直線的方程為

代入到拋物線方程整理得

設

根據韋達定理，，

因為

即

解得， （舍去）

所以直線的方程為

所以不論為何值，直線恒過定點．