Question

【題目】已知函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y＝－2.

(2) [0,8]．

【解析】分析：（1）求出導函數，可得切線斜率，切線方程為，化簡即可；

（2）若對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，說明函數是上的增函數，從而在上恒成立，再利用二次函數的性質可得的范圍.

詳解： (1)a＝1時，f(x)＝x2－3x＋lnx，f(1)＝－2，∴f ′(x)＝2x－3＋，

∴曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率k＝f ′(1)＝0；

所以在點(1，f(1))處的切線方程為 y＝－2；

(2)令g(x)＝f(x)＋2x＝ax2－ax＋lnx，(x＞0)；由題意知g(x)在(0，＋∞)單調遞增，所以g′(x)＝2ax－a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2ax2－ax＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立；令h(x)＝2ax2－ax＋1，(x＞0)；

則①若a＝0，h(x)＝1≥0恒成立；

②若a＜0，二次函數h(x)≥0不恒成立，舍去；

③若a＞0，二次函數h(x)≥0恒成立，只需滿足最小值h()≥0，即－＋1≥0，解得0＜a≤8；

綜上，a的取值范圍是[0,8]．