Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，令f′（x）≥0，解得ex≥a．

當a≤0時，有f′（x）＞0在R上恒成立，此時函數f（x）在R上單調遞增；

當a＞0時，x≥lna，此時函數f（x）在[lna，+∞）上單調遞增

（2）解：f（x）在定義域R內單調遞增，

∴f′（x）=ex﹣a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．

∵x∈R，∴ex∈（0，+∞），∴a≤0．

當a=0時，f′（x）=ex＞0在R上恒成立．

故當a≤0時，f（x）在定義域R內單調遞增

【解析】（1）f′（x）=ex﹣a，令f′（x）≥0，解得ex≥a．對a分類討論，即可得出．（2）f（x）在定義域R內單調遞增，可得f′（x）=ex﹣a≥0恒成立，即a≤ex ， x∈R恒成立．即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．