Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，己知是橢圓的右焦點，是橢圓上位于軸上方的任意一點，過作垂直于的直線交其右準線于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求證：直線與橢圓相切；

（3）在橢圓上是否存在點，使四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）存在，.

【解析】

（1）準線方程為，結合即可得到答案；

（2），由點斜式寫出的方程，進一步得到的坐標，利用P、Q兩點的坐標寫出方程，再與橢圓方程聯立消元，判斷方程解的個數即可；

（3）當直線的斜率不存在，則，.此時存在，使得四邊形是平行四邊形；當直線的斜率存在，設，分別求出的坐標，利用及解方程組即可判斷.

（1）由題意，，

解得，

所以橢圓的方程為.

（2）因為，

由于，所以，所以.

設，則，

所以，即點的坐標為.

由直線的斜率為，所以直線的方程為，

令，得，即，

所以直線的方程為.

聯立方程組，消得，

化簡可得，，即方程有唯一解.

所以上述方程組有唯一解，即直線與橢圓有且只有一個公共點，

所以直線與橢圓相切.

（3）若直線的斜率不存在，則，.

此時存在，使得四邊形是平行四邊形.

若直線的斜率存在，設，則，

由直線的斜率為，知直線的方程為.

令，得，即，

所以直線的斜率.

假設在橢圓上存在點，使四邊形是平行四邊形，

則∥，∥.

所以直線的方程為，聯立橢圓，

可得，

所以直線的斜率.

又直線的斜率，

令，即，

化簡可得，.

又，可以解得，，這與矛盾！

綜上，符合條件的點只有一個，其坐標為.