Question

【題目】已知函數，斜率為的直線與相切于點.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）當實數時，討論的極值點．

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】(1)在上單調遞增，在上單調遞減,(2) 當時，的極小值點為=1，極大值點；當時，無極值點；當時，的極大值點為=1，極小值點;(3)見解析.

【解析】

（1）（1）把f（x）代入h（x），對f（x）進行求導，利用導數研究h（x）的單調區間，注意函數的定義域；（2）已知實數0＜a＜1，對g（x）進行求導，令g′（x）=0，得出極值點，這時方程g′（x）=0的兩個根大小不一樣，需要進行討論，然后再確定極大值和極小值點；（3）結合（1）通過討論x的范圍，結合函數的單調性證明即可．

（Ⅰ）由題意知：

，

，

解得：；解得：

所以在上單調遞增，在上單調遞減

（Ⅱ）=

，

，

由g′（x）=0得x1=﹣1，x2=1，

1、若0＜﹣1＜1，a＞0即＜a＜1，0＜x1＜x2，

此時g（x）的極小值為x=1，極大值點x=﹣1，

2、若﹣1=1，a＞0，即a=，x1=x2=1，則g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上為單調增區間，無極值點，

3、若﹣1＞1，a＞0即0＜a＜，x1＞x2=1，

此時g（x）的極大值點為x=1，極小值點x=﹣1，

綜上：當＜a＜1時，g（x）的極小值點為x=1，極大值點x=﹣1；

當a=時，g（x）無極值點為x=1，極小值點x=；

當0＜a時，g（x）的極大值點為x=1，極小值點x=﹣1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：

當時,

，即

當時，

，

當時

，

所以