【題目】（1）已知
，
,求函數
的單調區間和極值；
（2）已知
，不等式
（其中
為自然對數的底數）對任意的實數
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）函數
的單調減區間為
，單調增區間為
.極小值
，無極大值.（2）
【解析】
（1）求導得到
根據導數的正負得到函數的單調區間，再計算極值得到答案.
（2）變換得到
，設
，等價于
即
，
，根據函數的單調性得到最值得到答案.
（1）函數的定義域為
,，由
得，
，
所以當
時，
，當
時，
，
所以函數的單調減區間為，單調增區間為.
所以當時，取得極小值
，無極大值.
（2）由
得，
，
即
，設，
，
則不等式對于任意的實數恒成立，等價于，
由（1）知，函數在區間上為增函數，
所以
，即
對任意的實數恒成立，
因為，所以
，
即
對任意的實數恒成立，即.
令，則
，由
得，
，
所以當
時，
，函數
在區間
上為減函數，
當
時，
，函數在區間
上為增函數，
所以當時，取得最小值
.
所以
，即
.
又由已知得
，所以，實數
的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，
、
為橢圓的左、右焦點，
為橢圓上一點，且
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
，過點的直線交橢圓于
、
兩點，線段
的垂直平分線分別交直線
、直線于
、
兩點，當
最小時，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且橢圓
的一個頂點
的坐標為
．過橢圓的右焦點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，
（，不同于點），直線
與直線
：
交于點
．連接
，過點作的垂線與直線交于點
．
（1）求橢圓的方程，并求點的坐標；
（2）求證：，，三點共線．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.每次考試過后，考生最關心的問題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位? 某單位準備通過考試(按照高分優先錄取的原則)錄用
名，其中
個高薪職位和
個普薪職位.實際報名人數為
名，考試滿分為
分.(一般地，對于一次成功的考試來說，考試成績應服從正態分布. )考試后考試成績的部分統計結果如下:
考試平均成績是
分，
分及其以上的高分考生
名.
(1)最低錄取分數是多少?(結果保留為整數)
(2)考生甲的成績為
分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位?若不能被錄取，請說明理由.
參考資料:(1)當
時，令
，則
.
(2)當時，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市在開展創建“全國文明城市”活動中，工作有序扎實，成效顯著，尤其是城市環境衛生大為改觀，深得市民好評.“創文”過程中，某網站推出了關于環境治理和保護問題情況的問卷調查，現從參與問卷調查的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求出a的值；
（2）若已從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，現要再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求第2組恰好抽到2人的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，等腰梯形
中，
，
，
，
為
中點，
與
交于點
，將
沿折起，使點
到達點
的位置（
平面
）．
（1）證明：平面
平面；
（2）若
，試判斷線段
上是否存在一點
（不含端點），使得直線
與平面
所成角的正弦值為
，若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
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