Question

【題目】已知函數， 為自然對數的底數.

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）關于的不等式在恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）關于的方程有兩個實根， ，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由，得，且又，即可求解切線方程；

（2）由題意知在上恒成立，利用導數求解函數的最小值，進而可求解實數的取值范圍；

（3）由，則，令，

得，得恒成立，即，

不妨設，則，再根據（2）中的結論，即可作出證明.

試題解析：

（1）對函數求導得，

又 曲線在處的切線方程為，即；

（2）記 ，其中，

由題意知在上恒成立，下求函數的最小值，

對求導得，令，得，

當變化時， ， 變化情況列表如下：

		0
		極小值

， ，

記，則，令，得．

當變化時， ， 變化情況列表如下：

		1
		0
		極大值

，

故當且僅當時取等號，

又，從而得到；

（3）先證，

記 ，則，令，得，當變化時， ， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴ ， 恒成立，

即，記直線， 分別與交于， ，

不妨設，則 ，

從而，當且僅當時取等號，

由（2）知， ，則 ，

從而，當且僅當時取等號，

故 ，

因等號成立的條件不能同時滿足，故．