Question

【題目】已知焦距為2的橢圓：的右頂點為，直線與橢圓交于、兩點（在的左邊），在軸上的射影為，且四邊形是平行四邊形．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點，．

（i）若直線過原點且與坐標軸不重合，是直線上一點，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，求的值；

（ii）若是橢圓的左頂點，是直線上一點，且，點是軸上異于點的點，且以為直徑的圓恒過直線和的交點，求證：點是定點．

Answer 1

【答案】（1） （2）（i）或； （ii）證明見解析

【解析】

（1）求出兩點坐標，四邊形是平行四邊形，即得，結合可解得；

（2）(i) 設直線方程為，求出坐標，設，由等腰直角三角形，有，到直線的距離為，根據關系式可求得；

(ii)設直線方程為，求出點坐標，又求得點坐標，以為直徑的圓恒過直線和的交點，則，設，由斜率乘積為-1可得．

解：（1）由題意可得，即，

直線代入橢圓方程可得，

解得，

可得，

由四邊形是平行四邊形，

可得，

∴，

解得，

可得橢圓的方程為；

（2）（i）由題意，直線方程為，代入橢圓方程，可得，

解得，

可設，

由是以為直角頂點的等腰直角三角形，

可設，到直線的距離為，

即有，，

即為，，

由，代入第二式，化簡整理可得，

解得或；

（ii）證明：由，可得直線的方程是，

代入橢圓方程可得，，

可得，

解得，

，

即，

設，，由題意可得，，

以為直徑的圓恒過直線和的交點，

可得，

即有，

即為，

解得．

故點是定點，即為原點．