Question

【題目】某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區域，其中四邊形為中心在圓心的矩形，現計劃將矩形區域設計為可推拉的窗口.

（1）若窗口為正方形，且面積大于（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍；

（2）若四根木條總長為，求窗口面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）長度與面積關系問題，可以考慮利用解不等式求范圍，先根據直線與圓位置關系得弦長與圓心到直線距離（即正方形邊長一半）關系，再根據面積大于得一根木條長范圍，注意四根木條將圓分成9個區域的隱含條件：（2）思路為長度一定，求面積最值，可以考慮利用基本不等式求最值，設所在木條長為，所在木條長為，則，而圓中垂徑定理得，因此

試題解析：解（1）設一根木條長為，則正方形的邊長為

因為，所以，即

又因為四根木條將圓分成9個區域，所以

所以;

（2）（方法一）設所在木條長為，則所在木條長為

因為，所以

設，

令，得，或（舍去），或（舍去）

列表如下：

	+	0	-
		極大值

所以當時，，即

（方法二）設所在木條長為，所在木條長為

由條件，，即

因為，所以，從而

由于，

因為

當且僅當時，

答：窗口面積的最大值為