Question

已知函數，．
（1）若，判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；
（3）若存在實數使得關于的方程有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）奇函數，（2），(3)

試題分析：（1）函數奇偶性的判定，一要判定定義域是否關于原點對稱，二要判定與是否相等或相反，（2）函數 是分段函數，每一段都是二次函數的一部分，因此研究 單調性，必須研究它們的對稱軸，從圖像可觀察得到實數 滿足的條件： ，(3)研究方程根的個數，通常從圖像上研究，結合（2）可研究出函數圖像.分三種情況研究，一是上單調增函數，二是先在上單調增，后在上單調減，再在上單調增，三是先在上單調增，后在上單調減，再在上單調增.
試題解析：（1）函數為奇函數．
當時，，，∴
∴函數為奇函數；                    3分
（2），當時，的對稱軸為：；
當時，的對稱軸為：；∴當時，在R上是增函數，即時，函數在上是增函數；                   7分
（3）方程的解即為方程的解．
①當時，函數在上是增函數，∴關于的方程不可能有三個不相等的實數根；                               9分
②當時，即，∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；即，∵∴．
設，∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根， ∴，又可證在上單調增
∴∴；      12分
③當時，即，∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，
∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；
即，∵∴，設
∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，
∴，又可證在上單調減∴
∴；                    15分
綜上：．            16分