Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別是，，點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，，設的內角平分線交的長軸于點．

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先設，分別求出直線，的方程，再由角平分線的性質，得到，結合的取值范圍即可得的取值范圍；

（Ⅱ）分別將，表示成關于的關系式，兩式相乘，得到關于變量的函數關系式，利用導數或基本不等式，即可求出的最大值．

（Ⅰ）設，則．

又，，

所以直線，的方程分別為，

．

由點到直線的距離公式得，

所以．

因為，，

所以，所以，

因此．

（Ⅱ）因為

，

，

所以

．

解法一：設，

由

，

得，所以在上單調遞增，在上單調遞減．

所以，

所以，當且僅當時取等號．

解法二：

，

當且僅當，即時取到最大值．

所以．