Question

【題目】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD和△ACD是邊長為2的等邊三角形，，O、E分別是BC、AC的中點．

（1）求證：OE∥平面ABD；

（2）求證：平面ABC⊥平面BCD；

（3）求三棱錐A﹣BCD的表面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）4+2．

【解析】

（1）由O、E分別是BC、AC的中點，可得OE∥AB，由線面平行的判定定理可得OE∥平面ABD；

（2）連接AO，DO，可得AO⊥BC，DO⊥BC，可得∠AOD為二面角A﹣BC﹣D的平面角，由已知條件可得∠AOD＝90°，則平面ABC⊥平面BCD；

（3）分別計算出S△ABC、S△ABD、S△ACD、S△CBD，相加可得求三棱錐A﹣BCD的表面積．

（1）證明：O、E分別是BC、AC的中點，可得OE∥AB，

OE平面ABD，AB平面ABD，可得OE∥平面ABD；

（2）證明：連接AO，DO，

由AB＝AC＝BD＝DC＝2，可得AO⊥BC，DO⊥BC，

可得∠AOD為二面角A﹣BC﹣D的平面角，

由BC＝2，可得AO＝DO，

在△AOD中，AO2+DO2＝AD2，

可得∠AOD＝90°，

則平面ABC⊥平面BCD；

（3）三棱錐A﹣BCD的表面積為S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△CBD2×222222×2＝4+2．