Question

【題目】已知拋物線，過點的動直線交拋物線于，兩點

（1）當恰為的中點時，求直線的方程；

（2）拋物線上是否存在一個定點，使得以弦為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用點差可求，從而得到直線的方程.

（2）設，設，，，聯立直線方程和拋物線方程后消元可得，利用及韋達定理可以得到恒成立，故求得.

（1）設，兩點坐標分別為，，當恰為的中點時，

顯然，故，又，故

則直線的方程為

（2）假設存在定點，設，當直線斜率存在時，設，，，聯立

整理得，，，，

由以弦為直徑的圓恒過點知，

即

即

故，即

整理得

即當時，恒有，故存在定點滿足題意；

當直線斜率不存在時，，不妨令，，，也滿足

綜上所述，存在定點，使得以弦為直徑的圓恒過點