Question

【題目】如圖，是以直徑的圓上的動點，已知，則的最大值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

過點作的平行線交圓于點，交BC于M，且M為垂足，設D在OE的投影為N，

由向量的幾何意義可知，=，只需當N落在E處時，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.

如圖，先將C視為定點，設∠CAB＝θ，θ∈[0，），則AC=2cosθ，

連接CB，則CBAC，

過O作AC的平行線交圓于E，交BC于M，且M為垂足，

又知當D、C在AB同側時，取最大值，

設D在OE的投影為N，

當C確定時，M為定點，則當N落在E處時，MN最大，此時取最大值，

由向量的幾何意義可知，=，最大時為，

又OM=cosθ, ∴cosθ，

∴最大為2cosθ,當且僅當cosθ=時等號成立，即θ=，

∴ 的最大值為.

故選A.