Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調增區間；

（2）若不等式對于任意成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1），對a分類討論以確定函數的單調增區間；（2）不等式對任意成立等價于對任意，有成立.設，，則只要即可.

（1）由題意得，函數的定義域為.

.

若，則當或時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減.若，則當時，，此時單調遞減；當時，即，此時單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在和上單調遞增.

（2）不等式對任意成立等價于對任意，有成立.

設，，則只要即可.

.

令，得；令，得.

所以函數在是哪個單調遞減，在上單調遞增.

所以的最大值為與中的較大者.

設，

則，

所以在上單調遞增，所以，所以.

從而.所以，即.

設，則，

所以在上單調遞增.

又，所以的解為.

因為，所以正實數的取值范圍為.