Question

【題目】已知雙曲線，為坐標原點，離心率，點在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于、兩點，且.求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);(2)24.

【解析】分析：（1）由雙曲線的離心率可得關于、的一個方程，再把點代入雙曲線的方程又得到關于、的一個方程，將以上方程聯立即可解最后結果；（2）利用得，故而可得，再結合一元二次方程的根與系數的關系及弦長公式即可求出結果.

詳解：（1）由，可得，∴，∴雙曲線方程為，∵點在雙曲線上，∴，解得，∴雙曲線的方程為.

（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由消去整理得，∵直線與雙曲線交于，兩點，

∴ .設，，

則，，由得到：，

即，∴，

化簡.∵ ，

當時，上式取等號，且方程有解.

②當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，則有，，

由可得，可得，解得,∴.

∴.綜上可得的最小值是24.