Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為9，最小值為1，記；

（1）求實數的值；

（2）若不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）定義在上的函數，設，其中將區間任意劃分成個小區間，如果存在一個常數，使得和式恒成立，則稱函數為在上的有界變差函數，試判斷函數是否為在上的有界變差函數?若是，求的最小值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（3）或；（3）是，.

【解析】

（1）根據在上的單調性可得的最大值和最小值，結合已知條件可求的值.

（2）不等式等價于，由后者可以得到，從而可求的取值范圍.

（3）對任意的上的劃分，必定存在，使得，從而可得，故可得的最大值，從而可判斷是上的有界變差函數且.

（1）因為的對稱軸為直線，

故在為增函數，所以，

，解得，又，解得.

所以.

（2）由（1）得，

因為，所以等價于，

所以，故或，解得或.

（3）當時，，此時，

且在為減函數，在為增函數.

設將區間任意劃分成個小區間，

且，則存在，

使得，

所以

，

整理得到，

因為，，

故，當且僅當即時等號成立，

故是上的有界變差函數，又，所以.