Question

【題目】已知動直線：與軸交于點，過點作直線，交軸于點，點滿足，的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知點，點，過作斜率為的直線交于，兩點，延長，分別交于，兩點，記直線的斜率為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）動直線與軸交于點．由直線，可得直線的方程為：，交軸于點，．設，點滿足，代入即可得出軌跡方程．

（2）設，，，的坐標依次為，，2，3，．直線的方程為：，與拋物線方程聯立化為：，設直線的方程為：，與拋物線方程聯立化為：，利用根與系數的關系、斜率計算公式即可得出．

解：（1）將代入得，∴，

∵，∴可設：，將代入得，∴.

設，則，，

由，得，即，

∴的方程為.

（2）設，，，，直線的方程為，

由，消去得，∴，，

設的方程為，由，消去得，

∴，即，同理，

由已知得，，

∴，

∵，∴為定值.