Question

已知數列、中，，且當時，，.記的階乘.
（1）求數列的通項公式；
（2）求證：數列為等差數列；
（3）若，求的前 項和.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）數列的前項和為.

解析試題分析：（1）根據數列的通項公式的結構特點選擇迭代法求數列的通項公式；（2）在數列的遞推式的兩邊同時除以得到，于是得到，從而利用定義證明數列為等差數列；（3）在（2）的基礎上求出數列的通項公式，并分別求出數列和數列的通項公式，然后根據數列的通項結構選擇分組求和法，分別對數列和數列進行求和，利用裂項法對數列進行求和，利用錯位相減法對數列進行求和，然后再將兩個和相加即可.
試題解析：（1），，，
；
又，所以；
（2）由，兩邊同時除以得，即，
所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，
，故；
（3）因為，，
記，，
記的前項和為，
則，             ①
    ②
由②①得，，
∴=.
考點：1.迭代法求數列的通項；2.構造法求數列通項；3.分組求和法；4.裂項求和法；5.錯位相減法