Question

【題目】已知橢圓的焦距和短軸長度相等，且過點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）圓與橢圓C分別交y軸正半軸于點A，B，過點（，且）且與x軸垂直的直線l分別交圓O與橢圓C于點M，N（均位于x軸上方），問直線AM，BN的交點是否在一條定直線上，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）兩直線交點一定在x軸上，理由詳見解析．

【解析】

(Ⅰ)根據題意列出關于的方程,解方程組求出,即可得橢圓方程;

(Ⅱ)設,由,,可推出,然后利用兩點坐標寫出直線的直線方程,聯立直線方程即可求出交點的縱坐標,從而得出直線AM,BN的交點一定在x軸上.

(Ⅰ)由題意可得:,

解得:,,

∴橢圓C的方程為;

(Ⅱ)由題可知,設

因為在橢圓上,在圓上,

所以,,

所以,

直線,

直線,

設兩直線的交點坐標為,則,解得,

故直線AM,BN的交點一定在x軸上.