Question

【題目】甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過100千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度（千米/小時）的平方成正比，比例系數為（），固定部分為1000元.

（1）把全程運輸成本（元）表示為速度（千米/小時）的函數，并指出這個函數的定義域；

（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

【答案】（1），；

（2）當時，，時，時最小.

【解析】

(1)全程運輸成本有兩部分組成,將其分別表示出來依題意建立起全程運輸成本 (元)表示為速度 (千米/時)的倍數,由題設條件速度不得超過70千米/時,故定義域為;

(2)由(1)知,全程運輸成本關于速度的函數表達式中出現了積為定值的情形，由于等號成立的條件有可能不成立,故求最值的方法不確定，對速度的范圍進行分類討論

解：（1）由題意得，全程運輸成本

，

（2）因為

所以

當且僅當時取等號，即

① 當時，即時

時，最小

② 當時，即時，在上單調遞減

則時，最小