Question

【題目】已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

分析：（1）根據對數函數定義可知定義域為大于0的數，求出f′（x）討論當a-1=1時導函數大于0，函數單調遞增；當a-1＞1時討論函數的增減性；（2）構造函數g（x）=f（x）+x，求出導函數，根據a的取值范圍得到導函數一定大于0，則g（x）為單調遞增函數，則利用當x1＞x2＞0時有g（x1）-g（x2）＞0即可得證．

詳解：

（1）的定義域為.

.

（i）若即，則，故在上單調遞增.

（ii）若，而，故，則當時，；

當及時，，

故在單調遞減，在，單調遞增.

（iii）若即，同理可得在單調遞減，在，單調遞增.

（2）考慮函數，

則

由于，故，即在單調增加，從而當時有，即，故，

當時，有.