Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）設點，為曲線上的動點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直線的參數方程中消去，可得出直線的普通方程，由可將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；

（2）設點，求出直線的普通方程，利用點到直線的距離公式結合三角恒等變換思想以及正弦函數的有界性可求得點到直線距離的最大值，進而可求得面積的最大值.

（1）直線的參數方程為（為參數），消去參數得，

所以，直線的普通方程為.

曲線的極坐標方程是，即，

化為普通方程得，即，即.

因此，曲線的直角坐標方程為；

（2）點，所以的直線方程為.

點為上任意一點，設點的坐標為，

所以點到直線的距離，其中由，來確定.

當時，，

所以面積的最大值為.