Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+）（其中A＞0，||＜ ，ω＞0）的圖象如圖所示，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0在[0， ]上只有一解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）的最大值為1，A＞0，

∴A=1，

又∵函數的周期T=2×[ ﹣（﹣ ）]=π，

∴ω= = =2，

∴函數圖象經過點P（ ，0），即：sin（2× +）=0，可得：2× +=kπ，k∈Z，解之得：=kπ﹣ ，k∈Z，

∵||＜ ，

∴解得：= ，

∴函數的表達式為：f（x）=sin（2x+ ）

（2）解：∵f（x）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0，

∴sin（2x+ ）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0，化簡可得：2cos（2x+ ）=k，

由題意可得函數g（x）=2cos（2x+ ） 與直線y=k在[0， ]上只有一解，

由于x∈[0， ]，故2x+ ∈[ ， ]，

故g（x）=2cos（2x+ ）∈[﹣2， ]．

如圖，要使的兩個函數圖形有一個交點必須使得k∈（﹣ ， ]∪{﹣2}

【解析】（1）根據函數的最值得到A，再由函數的周期，結合周期公式得到ω的值，再根據函數圖象經過點P（ ，0），結合范圍||＜ ，解得的值，從而得到函數的表達式．（2）由題意可知函數g（x）=2cos（2x+ ） 與直線y=k在[0， ]上只有一解，結合余弦函數的圖象和性質可得k的取值范圍．