Question

【題目】設是以為焦點的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個焦點的雙曲線.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若與在第一象限有兩個公共點，求的取值范圍，并求的最大值；

（3）是否存在正數，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；9；（3）存在正數，

【解析】

（1）可知焦點坐標在軸上，可設，再根據兩條漸近線與得出關系式，再由焦點是，結合即可求得雙曲線方程；

（2）由與在第一象限內有兩個公共點和，聯立雙曲線和拋物線方程，可得的取值范圍；設，用坐標表示，利用韋達定理及配方法，可得的最大值；

（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假設恰好在雙曲線的漸近線上，代入漸近線方程，即可求得結論．

（1）由題可知焦點為，故焦點在軸上，設雙曲線的方程為

是以直線與為漸近線，

，，，雙曲線方程為；

（2）拋物線的焦點，，聯立雙曲線方程消得：，

可得，與在第一象限內有兩個公共點和，，

設，則

將代入得，函數的對稱軸為，，時，的最大值為9；

（3）由（2）知的重心為，，

，，

假設恰好在雙曲線的漸近線上，代入可得，，或，，

存在正數，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上