Question

【題目】某商家計劃投入10萬元經銷甲，乙兩種商品，根據市場調查統計，當投資額為萬元，經銷甲，乙兩種商品所獲得的收益分別為萬元與萬元，其中，，當該商家把10萬元全部投入經銷乙商品時，所獲收益為5萬元．

(1)求實數a的值；

(2)若該商家把10萬元投入經銷甲，乙兩種商品，請你幫他制訂一個資金投入方案，使他能獲得最大總收益，并求出最大總收益．

Answer 1

【答案】(1)；(2)投入甲商品的資金為萬元，投入乙商品的資金為萬元，此時收益最大為萬元．

【解析】

(1)將代入，即可求出的值；

(2)根據分段函數求出在和內的收益函數，分別利用基本不等式和二次函數求出兩段的最值，然后比較大小即可得出結果．

(1)依題意可得，解得．

(2)設投入商品的資金為萬元，則投入商品的資金為萬元，

設收入為萬元，則

①當時，，，

則

，當且僅當，即時，取等號．

②當時，則，

因為，所以此時，

因為，所以最大收益為萬元，

答：投入甲商品的資金為8萬元，投入乙商品的資金為2萬元，此時收益最大，為17萬元．