Question

【題目】已知拋物線關于軸對稱，且經過點.

（1）求拋物線的標準方程及其準線方程；

（2）設為原點，過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點、，拋物線的準線分別交直線、于點和點，求證：以為直徑的圓經過軸上的兩個定點.

Answer 1

【答案】（1）標準方程為 ，準線方程為；（2）證明見解析

【解析】

（1）設拋物線C：x2＝﹣2py，代入點（2，﹣1），解方程可得p，求得拋物線的方程和準線方程；（2）拋物線x2＝﹣4y的焦點為F（0，﹣1），設直線方程為y＝kx﹣1，聯立拋物線方程，運用韋達定理，以及直線的斜率和方程，求得A，B的坐標，可得AB為直徑的圓方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定點．

（1）設拋物線C：x2＝﹣2py，經過點（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，

可得拋物線C的方程為x2＝﹣4y，準線方程為y＝1；

（2）拋物線x2＝﹣4y的焦點為F（0，﹣1），

設直線方程為y＝kx﹣1，聯立拋物線方程，可得x2+4kx﹣4＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，

直線OM的方程為yx，即yx，

直線ON的方程為yx，即yx，

可得A（﹣，1），B（﹣，1），

可得AB的中點的橫坐標為﹣2（）＝﹣2﹣2k，

即有AB為直徑的圓心為（﹣2k， 1），

半徑為||＝22，

可得圓的方程為（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），

化為x2+4kx+（y﹣1）2＝4，

由x＝0，可得y＝﹣1或3．

則以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點（0，﹣1），（0，3）．