Question

【題目】已知函數

（1）當時，設，且函數在上單調遞增.

①求實數的取值范圍；

②設，當實數取最小值時，求函數的極小值.

（2）當時，證明：函數有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）①②（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得到恒成立，即在上恒成立，設，求函數的最大值得到答案；，求導得到函數單調性，得到極小值.

（2），計算函數單調性得到，故存在唯一，使得，又，得到答案.

（1）①，得，

由題意知在上恒成立，在上恒成立.

令，則，

令，得，令，得，

在上單調遞增，在單調遞減，，

，即實數的取值范圍是.

②當實數取最小值時，.

，

令，解得或，

當或時，；當時，.

在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，取得極小值，極小值為.

（2）當時，函數.

令，解得，

當，時在上單調遞減，

當時，在上單調遞增，

令則，

在上單調遞減，即.

當時，，由零點存在性定理，存在唯一，使得，

又有兩個零點.