Question

【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方向構成，小正方形數越多刺銹越漂亮，向按同樣的規律刺銹（小正方形的擺放規律相同），設第個圖形包含個小正方形

（1）求的值

（2）求出的表達式

（3）求證：當時，

Answer 1

【答案】（1）61（2）f（n）=2n2﹣2n+1；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據列舉法找規律，得到的值；（2）同樣根據列舉法找規律 ，根據累加法得到的表達式；（3）根據（2）的結果，代入可得，利用累加法求和，再根據數列的單調性證明不等式.

試題解析：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，

f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，

f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；

（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4，

由上式規律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．

∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），

f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3），

…

f（2）﹣f（1）=4×1，

∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]

=2（n﹣1）n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1；

（2）證明：當n≥2時，==（﹣），

∴+++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）

=1+（1﹣）=﹣．

由于g（n）=﹣為遞增數列，

即有g（n）≥g（1）=1，

且g（n）＜，

則+++…+＜成立．