Question

【題目】雙曲線的左右焦點分別為,左右項點分別為,點是上的動點.

(1)若點在第一象限， 且,求點的坐標;

(2)點與不重合，直線分別交軸于兩點，求證: ;

(3)若點在左支上，是否存在實數,使得到直線的距離與之比為定值?若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)

【解析】

(1)根據與可算得再設點列式求得的坐標即可.

(2)設再利用三點共線斜率相等求得的坐標,再表達證明即可.

(3) 設再表達出到直線的距離與之比,化簡求得對應的表達式再分析的取值即可.

(1)雙曲線中,故,算得,

設則將,帶入

即,,因為在第一象限,所以故

代入可得,故

(2) 由,設,,則由題意

,

故,,所以,又因為,

所以,,

代入得,因為,所以

,即

(3) 設,因為所以

所以

為定值,則

故存在使得到直線的距離與之比為定值.