Question

【題目】設函數f(x)＝|x－a|，a<0.

(1)證明：f(x)＋f≥2；

(2)若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）(－1,0)

【解析】試題分析：（1）運用絕對值不等式的性質和基本不等式，即可得證；

（2）通過對x的范圍的分類討論去掉絕對值符號，轉化為一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．

試題解析：

(1)證明：函數f(x)＝|x－a|，a<0，

設f(x)＋f＝|x－a|＋

＝|x－a|＋≥

＝＝|x|＋≥2

＝2(當且僅當|x|＝1時取等號)．

(2)f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|，a<0.

當x≤a時，f(x)＋f(2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x，

則f(x)＋f(2x)≥－a；

當a<x<時，f(x)＋f(2x)＝x－a＋a－2x＝－x，

則－<f(x)＋f(2x)<－a；

當x≥時，f(x)＋f(2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a，

則f(x)＋f(2x)≥－，

則f(x)的值域為，若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，則需>－，

解得a>－1，又a<0，所以－1＜a＜0，

故a的取值范圍是(－1,0)．