Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點作圓的兩條切線，切點分別為，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據的面積可求得橢圓中的，將點帶入橢圓標準方程，結合橢圓中的關系即可求得橢圓的方程；

（2）表示出圓的方程，分析斜率存在與不存在兩種情況：當斜率不存在時，易知直線與圓相切，可求得切點坐標，當斜率存在時，設出直線方程，由切線性質及點到直線距離公式可求得斜率，進而將直線方程與圓方程聯立，求得切點坐標，即可由平面向量數量積的坐標運算求得的值.

（1）設橢圓的焦距為2c，

由的面積為可得，

，

則，由點在橢圓上可得，

解之得，

故橢圓的方程為.

（2）過原點且斜率不存在的直線顯然與圓相切，切點為，

當斜率存在時，設過原點的直線為，即，

由圓心到直線的距離恰好等于圓的半徑可得

，解之得，

由可得，即，

，，即點，

，

.