Question

【題目】已知函數.

（1）證明：當時，；

（2）若有極大值，求的取值范圍；

（3）若在處取極大值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見證明 （2）（3）見證明

【解析】

（1）當時，，，研究函數的單調性與最值即可證明不等式；

（2）由題設得.由有極大值得有解，且.利用極大值定義即可建立a的不等關系；

（3）由（2）知：當時，有唯一的極大值點, 且，故，結合函數的單調性即可證明.

（1）證明：當時，，，

令，則.

∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

∴當時，.

∴當時，，在上單調遞增.

∴當時，，即.

（2）解：由題設得.由有極大值得有解，且.

令，則.由得.

∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

∴.

當，即時，，即，此時，在上單調遞增，無極值；

當，即時，

∴，.

由（1）知：，即.

∴存在，，使.

∴當時，，即單調遞增；當時，，

即單調遞減；當時，，即單調遞增.

∴是唯一的極大值點.

綜上所述，所求的取值范圍為.

（3）證明：由（2）知：當時，有唯一的極大值點,

且，故，

由（2）知：.

當時，，由（2）知：在上單調遞增.

∴當時，，即.

∴當時，.

綜上所述，.