Question

【題目】已知三棱柱的側棱和底面垂直，且所有頂點都在球O的表面上，側面的面積為.給出下列四個結論：

①若的中點為E，則平面；

②若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3；

③若，，則球O的表面積為；

④若，則球O體積的最小值為.

當則所有正確結論的序號是（ ）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①,證明，平面即得證，所以該命題正確；

②，求出到平面的距離為2，所以該命題錯誤；

③，求出，即可判斷該命題正確；

④，求出外接球的半徑的最小值為2，即得球O體積的最小值為，所以該命題正確.

①，如圖，連接,交于點,連接.因為，所以,因為平面，平面，所以平面，所以該命題正確；

②，連接,過作,垂足為,因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以到平面的距離就是.由題得,所以，所以到平面的距離為2.所以該命題不正確；

③，如圖，取中點，連接,則的中點就是三棱柱的外接球的球心,連接.設，球的半徑為,則所以.由題得，所以.所以，所以球O的表面積為,所以該命題正確；

④，設，球的半徑為,設上底面和下底面的中心分別為,連接,則其中點為,連接.由題得所以,即，又，所以，所以，（當且僅當時取等），所以最小值為2，所以球O體積的最小值為，所以該命題正確.

故選：D.