Question

【題目】已知函數，，其中，為自然對數的底數.

（1）求函數的最小值；

（2）若對于任意的，都存在唯一的，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，最小值為，當時，最小值為，當時，最小值為；（2）

【解析】

（1）求出導函數，對a進行分類討論求得函數的單調區間，即可求得最小值；

（2）求出，的值域，結合（1）的單調性和值域討論不等關系即可得解.

（1）由題：，

，

當時，恒成立，

所以函數在單調遞增，最小值為，

當時，恒成立，

所以函數在單調遞減，最小值為，

當時，由得，由得，

在遞減，在遞增，

所以函數的最小值為

綜上所述：當時，最小值為，當時，最小值為，當時，最小值為；

（2）函數，，當且僅當x=0時，導數值為0，

所以在單調遞增，值域為，

結合（1）可得：

當時，函數在單調遞增，

，，只需，解得：，

當時，函數在單調遞減，，不合題意，舍去，

當時，在遞減，在遞增，

，，

所以只需，解得

綜上所述