Question

【題目】已知函數,其中,.

(1)函數的圖象能否與x軸相切?若能,求出實數a;若不能,請說明理由.

(2)若在處取得極大值,求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 答案見解析(2)

【解析】

（1）假設函數的圖象與x軸相切于，根據相切可得方程組，看方程是否有解即可；（2）求出的導數，設()，根據函數的單調性及在處取得極大值求出a的范圍即可.

(1)函數的圖象不能與x軸相切,理由若下:

.假設函數的圖象與x軸相切于

則即

顯然,,代入中得,無實數解.

故函數的圖象不能與x軸相切.

(2)()

,,

設(),

恒大于零.

在上單調遞增.

又,,,

∴存在唯一,使,且

時,時,

①當時,恒成立,在單調遞增,

無極值,不合題意.

②當時,可得當時,,當時,.

所以在內單調遞減,在內單調遞增,

所以在處取得極小值,不合題意.

③當時,可得當時,,當時,.

所以在內單調遞增,在內單調遞減,

所以在處取得極大值,符合題意.

此時由得即,

綜上可知,實數a的取值范圍為.