Question

【題目】如圖，已知點列、、、、（）依次為函數圖像上的點，點列、、、（）依次為軸正半軸上的點，其中（），對于任意，點、、構成一個頂角的頂點為的等腰三角形.

（1）證明：數列是等差數列；

（2）證明：為常數，并求出數列的前項和；

（3）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析；（3）存在;的值為，，

【解析】

（1）利用點列為函數圖像上的點，可求出的通項公式,進而可證明結論;

（2）與是等腰三角形,可得,兩式相減可得到,進而可求得數列的前項和;

（3）要使為直角三角形,可得,結合數列的通項公式,分類討論可求得的值.

（1）點列、、、、（）依次為函數圖像上的點，所以,,則.

故數列是等差數列；

（2）與是等腰三角形,可得,相減可得,即為常數.

,,令,得,

因為,所以數列的奇數項可以構成一個以為首項,公差為2的等差數列,

數列的偶數項可以構成一個以為首項,公差為2的等差數列,

當為奇數時,,當為偶數時,,

則數列的前項和.

（3）要使為直角三角形,則,即,

當為奇數時,,則,即,

,為奇數,

當,得,當,得,時,不符合題意.

當為偶數時,,則,即,

當,得,時,不符合題意.

綜上所述,存在直角三角形,此時的值為.