Question

【題目】給定數列，若滿足（且），對于任意的，都有，則稱數列為“指數型數列”．

（1）已知數列的通項公式為，試判斷數列是不是“指數型數列”；

（2）已知數列滿足，，證明數列為等比數列，并判斷數列是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；

（3）若數列是“指數型數列”，且，證明數列中任意三項都不能構成等差數列．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）是，理由詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用指數數列的定義，判斷即可；

（2）利用a1，an＝2anan+1+3an+1（n∈N*），說明數列{1}是等比數列，然后證明數列{1}為“指數型數列”；

（3）利用反證法，結合n為偶數以及奇數進行證明即可．

解：（1）數列，，所以數列是“指數型數列”

（2）數列是“指數型數列”，

所以是等比數列，

，

所以數列是“指數型數列”

（3）若數列是“指數型數列”，由定義得：

假設數列中存在三項，，成等差數列，不妨設

則，得：

整理得：（*）

若a為偶數時，右邊為偶數，為奇數，則左邊為奇數，（*）不成立；

若a為奇數時，右邊為偶數，為奇數，則左邊為奇數，（*）不成立；

所以，對任意的，（*）式不成立．