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【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，點、分別在棱、上移動，且，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，且，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）推導出平面，，，建立分別以、、為，，軸的空間直角坐標系，利用法向量能求出異面直線與所成角．

（2
）推導出平面的法向量和平面的一個法向量，由二面角的余弦值，能求出的值．

在正三棱柱中，取中點，取中點，連、，則

，，又正三棱柱中，平面，、平面，所以，，所以，.

以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，

，，

（1）若，，，

，

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）由（1）可得，

設平面的一個法向量，則，取得：，

取平面的一個法向量，

由二面角的大小為，且，得

，

化簡得，所以.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數，

（1）判斷函數在區間上零點的個數；

（2）函數在區間上的極值點從小到大分別為，，證明：.

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【題目】已知函數，，

（1）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍；

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（1）求；

（2）探究與之間的關系,求出數列的通項公式；

（3）對于每個正整數,在與之間插入個得到一個新數列,設是數列的前項和,試探究能否成立？寫出你探究得到的結論并給出證明.

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（2）設是定義在上的“類函數”，求是實數的最小值；

（3）若 為其定義域上的“類函數”，求實數的取值范圍.

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【題目】給定數列，若滿足（且），對于任意的，都有，則稱數列為“指數型數列”．

（1）已知數列的通項公式為，試判斷數列是不是“指數型數列”；

（2）已知數列滿足，，證明數列為等比數列，并判斷數列是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；

（3）若數列是“指數型數列”，且，證明數列中任意三項都不能構成等差數列．

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【題目】第二屆中國國際進口博覽會11月初在上海舉行了，在這屆進口博覽會上，某高校派出的4人承擔了連續5天的志愿者服務，若每天只安排一人且每人至少參加一天志愿服務，則甲參加2天志愿服務的概率為________（結果用數值表示）.

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【題目】如圖，已知橢圓的左、右兩個焦點分別為設，若為正三角形且周長為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若過點且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，是否存在實數使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

(3)若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點兩點，記的面積記為，求的取值范圍.

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