Question

【題目】已知等差數列的前項和為，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，若對一切正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；.

（3）是否存在正整數，使得。成等比數列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

（1）由已知條件利用等差數列的通項公式和前項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列的前項和；

（2）當為偶數時，設，，求出，進而求出；當為奇數時，設，，求出，進而求出，由此能求出的取值范圍；

（3）假設存在正整數，，使得，，成等比數列，由此利用已知條件推導出等式不成立，從而得到不存在正整數，，使得，，成等比數列．

（1）設數列的公差為．

，，

，解得，，

；

（2）當為偶數時：，不等式

分離參數得到研究右邊函數性質，

此為單調遞增，所以

當為奇數時：，不等式

，從而

綜上：；

（3）假設存在正整數，()，使得/span>，，成等比數列，
則，即，

∴，即，

即.

，，，∴．

是整數，等式不成立，

故不存在正整，，使得，，成等比數列.