Question

【題目】已知數列滿足

（1）當時，寫出所有可能的值；

（2）當時，若且對任意恒成立，求數列的通項公式；

（3）記數列的前項和為，若分別構成等差數列，求.

Answer 1

【答案】（1）或或或；（2）；（3）

【解析】

（1）構造新數列后分類討論即可得解；

（2）轉化條件得，，作差得，求出后再求出即可得解；

（3）轉化條件得，，分組求和即可得解.

（1）當時，，

即是以為首項、為公差的等差數列，

，

可得：，，，，

或或或.

（2）當時，

即是首項為.公差為的等差數列，

，

，，

且，

，，

，，

，

.

（3）由己知得①

若，分別構成等差數列，

則，②

，③

，④

由②+③得:

是等差數列， 必為定值，

或，

即或，

而由①知，即

，

即或（舍）

，.

同理，由③+④得:

或，

由上面的分析可知:

而，，

即或（舍）

，從而

.