Question

【題目】設，正項數列的前項的積為，且，當時， 都成立.

（1）若， ， ，求數列的前項和；

（2）若， ，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）直接利用遞推關系式求出數列的通項公式．

（2）根據已知條件和數列的等量關系求出數列的通項公式．

試題解析：

（1）當n≥2時，因為M={1}，所以=TnT1，可得an+1=ana1，

故=a1=3（n≥2）．

又a1=，a2=3，則{an}是公比為3的等比數列，

故{an}的前n項和為=3n﹣．

（2）當n＞k時，因為=TnTk，所以=Tn+1Tk，

所以=，即=an+1，

因為M={3，4}，所以取k=3，當n＞3時，有an+4an﹣2=an+12；

取k=4，當n＞4時，有an+5an﹣3=an+12．

由an+5an﹣3=an+12 知，

數列a2，a6，a10，a14，a18，a22，…，a4n﹣2，…，是等比數列，設公比為q．…①

由an+4an﹣2=an+1 知，

數列a2，a5，a8，a11，a14，a17，…，a3n﹣1，…，是等比數列，設公比為q1，…②

數列a3，a6，a9，a12，a15，a18，…，a3n，…，成等比數列，設公比為q2，…③

數列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，…，a3n+1，…，成等比數列，設公比為q3，…④

由①②得， =q3，且=q14，所以q1=；

由①③得， =q3，且=q24，所以q2=；

由①④得， =q3，且=q34，所以q3=；

所以q1=q2=q3=．

由①③得，a6=a2q，a6=a3q2，所以==，

由①④得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，

所以a2，a3，a4是公比為q的等比數列，所以{an}（n≥2）是公比為q的等比數列．

因為當n=4，k=3時，T7T1=T42T32；

當n=5，k=4時，T9T1=T52T42，

所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．

又a1=，所以{an}（n∈N*）是公比為的等比數列．

故數列{an}的通項公式是an=2n﹣1．