Question

【題目】已知函數 ，若 ，且 對任意的 恒成立，則 的最大值為（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】
因為 ，若 ，且 對任意的 恒成立，
即 ，因為
即 ，對任意 恒成立，
令 ，則
令 ，則
所以函數 在 上單調遞增.
因為
所以方程 在 上存在唯一實根 ，且滿足
當 時， ，即 ，當 時， ，即
所以函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增
所以
所以
所以 ，因為 ，故整數 的最大值為 ，故答案為：B.
本題主要考查利用導數求解函數的單調性，進而求函數的最值問題。考查了等價轉化的數學思想方法，把恒成立的問題利用分離變量的方法把不同的兩個變量進行分類，轉化為求函數的最值的問題，即,對任意的恒成立，然后再利用導數確定函數的單調區間，進而求出函數的最小值。