Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）═log2（ +a）．
（1）若f（1）＜2，求實數a的取值范圍；
（2）設函數g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，討論函數g（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（1）＜2，

則log2（1+a）＜2，

即0＜1+a＜4，

解得：a∈（﹣1，3）

（2）解：令函數g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，

則f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，

即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

①當a=4時，方程可化為：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，

此時 +a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，滿足條件，

即a=4時函數g（x）有一個零點；

②當（a﹣5）2+4（a﹣4）=0時，a=3，方程可化為：﹣x2﹣2x﹣1=0，

此時 +a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，滿足條件，

即a=3時函數g（x）有一個零點；

③當（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0時，a≠3，

方程有兩個根，x=﹣1，或x= ，

當x=﹣1時， +a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，當a＞1時，滿足條件，

當x= 時， +a=（a﹣4）x+2a﹣5= ，當a 時，滿足條件，

a≤ 時，函數g（x）無零點；

＜a≤1時，函數g（x）有一個零點；

a＞1且a≠3且a≠4時函數g（x）有兩個零點

【解析】（1）若f（1）＜2，則log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得實數a的取值范圍；（2）令函數g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分類討論方程根的個數，可得不同情況下函數g（x）的零點個數．